Title: TP n°3
Course: Le web (2)

On considère un nombre entier naturel non nul \(u_0\). S'il est pair, on le divise par 2 ; s'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.

En repérant ce processus, on obtient une suite d'entier \(\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par la relation de récurrence :

\(u_0\) un nombre entier positif donné et \(u_{n+1}= \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{u_n}{2} \text{ si } u_n \text{ est pair ;} \\ 3u_n + 1 \text{ si } u_n \text{ est impair.}\end{array}\right.\).

La suite \(\left( u_{n}\right)_{n \in\ \mathbb{N}}\) est la suite de Syracuse de \(u_0\). On note \(S_{u_0}\) cette suite.

1. a. Déterminer \(S_3\).

    b. La suite \(S_3\) est-elle périodique à partir d'un certain rang ? Si oui, préciser sa période.

2. Écrire un algorithme qui demande en entrée la valeur de \(u_0\) et un nombre \(n\) puis calcule et affiche chaque termes \(u_1,\ldots,u_n\).
Conjecture de Syracuse
  La conjecture affirme que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), il   existe \(n\)el que \(u_n=1\). Cette conjecture n'a pas encore été démontrée à ce jour.

3. Reprendre cet algorithme pour créer une fonction vol(a) ayant pour paramètre a=\(u_0\) qui retourne tous les termes \(u_0,\ldots,u_n\) de \(S_{u_0}\), où \(n\) est le premier entier pour lequel \(u_n=1\).
Définitions

- La liste des valeurs retournée par vol(a) correspond au vol de la suite \(S_a\).
- Le temps de vol est le plus petit entier \(n\) pour lequel \(u_n=1\).
- L'altitude de \(S_n\) est le plus grand terme de la liste des valeurs de \(S_n\).

4. Écrire une fonction nommée Tvol(a) ayant pour paramètre a=\(u_0\) qui retourne le temps de vol de la suite \(S_a\).

5. Écrire une fonction nommée Altvol(a) ayant pour paramètre a qui retourne l'altitude du vol \(S_a\).

6. Déterminer le plus grand temps de vol de \(S_n\) pour \(n \leqslant 100\,000\).

Q: \(S_3\) est périodique à partir du rang N=[...] (l'indice de la première apparition de la période) et sa période vaut p=[...].
A: 5; 3

Q: Le temps maximal de vol est de [...]. Il correspond au vol [...] qui atteint l'altitude de [...].
A: 350; 77031; 21933016